Che numero mi aspetto se lancio un dado ?
In statistica il valore atteso è un numero che ci dice il risultato medio che possiamo aspettarci da una certa azione, come il lancio di un dado o il tiro di una moneta.
Per spiegare in maniera semplice il concetto di valore atteso si può immaginare di avere un dado numerato a 6 facce; lanciando il dado non sapremo mai cosa uscirà ma sappiamo che ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire di 1/6. Il valore atteso rappresenta una previsione, che va a tener conto di:
- I risultati possibili del lancio del dado (1, 2, 3, 4, 5, 6);
- Le probabilità di ogni risultato (1/6 per ogni risultato).
Il calcolo del valore atteso può essere associato al calcolo di una “media immaginaria”, andiamo quindi a sommare tutti i risultati possibili moltiplicati per la loro probabilità. Con l’esempio del dado avremmo:
1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 = 3,5.
Questo significa che lanciando il dado tantissime volte, in media otterremmo 3,5 come risultato; tenendo però a mente che rappresenta solo una previsione sul lungo termine (3,5 infatti non è un numero che si può ottenere con un singolo lancio).
La formula matematica che rappresenta quanto detto fino ad ora è:
Con X che rappresenta i risultati del lancio del dado e P che rappresenta le probabilità di ogni risultato.
Applicazioni
Il valore atteso prevede ampi utilizza nella statistica, in particolare in quella inferenziale, economica e dei giochi; risulta infatti essere la base da cui vanno poi calcolate altre misure statistiche di base (varianza, deviazione standard, ecc…).
Le sue proprietà sono:
- Il valore atteso di una costante è la costante stessa. Se ad esempio lanciassimo un dado che ha il 3 su ogni faccia, il valore atteso sarebbe sempre 3;
- Monotonia, ovvero se i risultati di un’azione sono compresi tra due estremi anche il valore atteso lo sarà. I possibili risultati del lancio di un dado sono compresi fra 1 e 6, di conseguenza anche il valore atteso di quell’azione è compreso tra 1 e 6;
- Linearità; ovvero se abbiamo due variabili (X e Y) e due costanti (a e b) il valore atteso della combinazione lineare è dato da:
Quindi se ad esempio X e Y fossero il lancio di un dado e il lancio di una moneta (che hanno valore atteso 3,5 e 0,5) il valore atteso di (2 lanci di dado + 3 lanci di moneta) sarebbe,
con risultato 8,5.
Articolo scritto in collaborazione con Samuele De Marzo